Bài viết khuyên bảo phương pháp áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể (tất cả thứ thể giới hạn vì các mặt phẳng cùng đồ gia dụng thể tròn xoay) trải qua lý thuyết, phương pháp tính, công việc giải toán và ví dụ minch họa gồm giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Kiến thức đề nghị nắm:1. Thể tích của vật thểGiả sử đồ thể $T$ được giới hạn do nhị phương diện phẳng tuy vậy song $(alpha )$, $(eta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:$left{ eginarraylOx ot (altrộn ) \Ox ot (eta )endarray ight.$ với trả sử $left{ eginarraylOx cap (altrộn ) = a\Ox cap (eta ) = bendarray ight.$Giả sử phương diện phẳng $(gamma ) cap Ox$ và $(gamma ) cap Ox = xleft( a le x le b ight)$ cắt $T$ theo một tiết diện gồm diện tích $Sleft( x ight)$ (là hàm số liên tục theo biến $x$). khi kia, thể tích $V$ của vật thể $T$ được đến vày công thức: $V = intlimits_a^b S(x)dx .$

2. Thể tích của đồ thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ liên tiếp và ko âm bên trên đoạn $left< a;b ight>$. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh do miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được đến bởi vì công thức: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$b. Cho hàm số $x = fleft( y ight)$ tiếp tục cùng ko âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Tính thể tích trang bị thể tròn luân phiên sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ xoay quanh trục $Oy$ được đến vì công thức: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

3. Thể tích kăn năn nón cùng kăn năn chóp, kăn năn nón cụt cùng khối hận cầua. Thể tích khối hận nón (khối chóp) gồm diện tích S lòng bằng $B$ và chiều cao $h$ được mang đến bởi $V = frac13Bh.$ Thể tích kân hận nón cụt (kăn năn chóp cụt) gồm diện tích S nhị đáy là $B_1$, $B_2$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = frac13(B_1 + m B_2 + sqrt B_1..B_2 )h.$b. Thể tích của kân hận cầu gồm buôn bán kính $R$ được mang đến bởi: $V = frac43pi R^3.$

Dạng toán 1: Tính thể tích thứ thểPmùi hương pháp: Thực hiện theo nhì bước:+ Cách 1: Xác định bí quyết tính diện tích S tiết diện $Sleft( x ight)$ (hoặc $Sleft( y ight)$) thông thường bọn họ chạm mặt tiết diện là các hình cơ phiên bản.+ Cách 2: Khi đó: $V = intlimits_a^b S(x)dx $ (hoặc $V = intlimits_a^b S(y)dy $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của thiết bị thể:a. Nằm thân nhì khía cạnh phẳng $x = 0$ và $x = fracpi 2$, biết rằng tiết diện của đồ gia dụng thể bị cắt bởi khía cạnh phẳng vuông góc cùng với trục $Ox$ tại điểm tất cả hoành độ $x$ $left( 0 le x le fracpi 2 ight)$ là 1 hình vuông vắn cạnh $sqrt sin ^3x .$b. Nằm thân nhị phương diện phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của đồ vật thể bị giảm bởi phương diện phẳng vuông góc cùng với trục $Ox$ tại điểm bao gồm hoành độ $x$ $left( 1 le x le 4 ight)$ là một trong những tam giác các cạnh là $sqrt x – 1.$

a. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được đến bởi:$Sleft( x ight) = left( sqrt sin ^3x ight)^2$ $ = m sin^3x$ $ = frac14left( 3sin x – sin 3x ight) .$Lúc đó, thể tích thứ thể được cho bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = frac14intlimits_0^pi /2 left( 3sin x – sin 3x ight)dx $ $ = frac14left( – 3cos x + frac13cos 3x ight)left| eginarraylpi /2\0endarray ight.$ $ = frac23.$b. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được mang đến bởi:$Sleft( x ight) = fracsqrt 3 4left( sqrt x – 1 ight)^2$ $ = fracsqrt 3 4left( x – 2sqrt x + 1 ight).$lúc kia, thể tích đồ vật thể được mang lại bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = fracsqrt 3 4intlimits_1^4 left( x – 2sqrt x + 1 ight)dx $ $ = fracsqrt 3 4left( frac12x^2 – frac43x^frac32 + x ight)left| _1^4 ight.$ $ = frac7sqrt 3 24.$

Nhận xét: do đó, nhằm tính các thể tích vật dụng thể trên:+ Tại câu 1.a do tiết diện là hình vuông (đưa sử cạnh bằng $a$) yêu cầu ta bao gồm ngay $S = a^2$.+ Tại câu 1.b bởi vì thiết diện là tam giác hồ hết (mang sử cạnh bởi $a$) đề nghị ta gồm ngay $S = fraca^2sqrt 3 4.$Dạng toán 2: Tính thể tích đồ vật thể tròn chuyển phiên dạng 1Pmùi hương pháp: Ta tất cả nhị dạng sau:+ Dạng 1: Công thức tính thể tích thiết bị thể tròn chuyển phiên sinch bởi vì miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$+ Dạng 2: Công thức tính thể tích đồ gia dụng thể tròn luân phiên sinh vày miền $left( D ight)$ số lượng giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

Crúc ý: Trong một vài trường phù hợp chúng ta phải search cận $a$, $b$ thông qua vấn đề cấu hình thiết lập ĐK ko âm mang lại hàm số $fleft( x ight)$ (hoặc $f(y)$).

lấy một ví dụ 2: Tính thể tích kăn năn tròn luân chuyển tạo nên thành khi:a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn vị vật thị hàm số $y = e^x$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng số lượng giới hạn vị thứ thị hàm số $y = 3 – x^2$, trục tung với con đường thẳng $y = 1.$

a. Thể tích vật dụng thể được cho bởi: $V = pi intlimits_0^3 y^2dx $ $ = pi intlimits_0^3 e^2xdx $ $ = fracpi 2e^2xleft| _0^3 ight.$ $ = fracpi 2(e^6 – 1).$b. Biến thay đổi hàm số về dạng: $y = 3 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 3 – y$ (cần phải có điều kiện $3 – y ge 0$ $ Leftrightarrow y le 3$).khi đó, thể tích đồ dùng thể được đến bởi: $V = pi intlimits_1^3 x^2dy $ $ = pi intlimits_1^3 (3 – y)dy $ $ = pi left( 3y – fracy^22 ight)left| _1^3 ight.$ $ = 2pi .$

Nhận xét: Bởi vậy, nhằm tính các thể tích kăn năn tròn luân chuyển trên:+ Ở câu 2.a bọn họ sử dụng ngay cách làm vào dạng 1.+ Tại câu 2.b họ yêu cầu thực thêm quá trình đổi khác hàm số về dạng $x = fleft( y ight)$ cùng ở đây nhờ điều kiện tất cả nghĩa của $y$ chúng ta nhận thấy cận $y = 3.$

lấy một ví dụ 3: Tính thể tích của kăn năn tròn luân chuyển khiến cho Khi ta cù hình $H$ xung quanh trục $Ox$, với:a. $H = m y = 0;y = sqrt 1 + cos ^4x + sin ^4x ;$ $x = fracpi 2;x = pi m .$b. $H = m y = 0;y = sqrt cos ^6x + sin ^6x ;$ $x = 0;x = fracpi 2 m .$

a. Thể tích đồ dùng tròn chuyển phiên đề xuất tính được đến bởi:$V = pi intlimits_pi /2^pi (1 + cos ^4x + sin ^4x) dx$ $ = pi intlimits_pi /2^pi (frac7 – cos 4x4)dx $ $ = pi left( frac74x – frac116sin 4x ight)left| eginarraylpi \pi /2endarray ight.$ $ = frac78pi ^2$ (đvtt).b. Thể tích đồ thể tròn chuyển phiên nên tính là:$V = pi intlimits_0^pi /2 (cos ^6x + sin ^6x)dx$ $ = pi intlimits_0^pi /2 (1 – frac34sin ^22x)dx $ $ = pi intlimits_0^pi /2 (frac58 + frac38cos 4x)dx $ $ = pi left( frac58x + frac332sin 4x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight.$ $ = frac5pi ^216$ (đvtt).

lấy ví dụ 4: Tính thể tích của kân hận tròn luân chuyển khiến cho Lúc ta tảo hình $H$ xung quanh trục $Ox$, với:a. $H = left y = 3ax – x^2left( a > 0 ight),y = 0 ight.$b. $H = left y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e ight.$

a. Phương thơm trình hoành độ giao điểm của $left( P. ight)$ và $Ox$ là:$3ax – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$khi đó, thể tích yêu cầu xác minh được mang đến bởi:$V = pi intlimits_0^3a (3ax – x^2)^2dx $ $ = pi intlimits_0^3a (x^4 – 6ax^3 + 9a^2x^2)dx $ $ = pi left( frac15x^5 – frac3a2x^4 + 3a^2x^3 ight)left| eginarrayl3a\0endarray ight.$ $ = frac81a^5pi 10$ (đvtt).b. Thể tích đồ gia dụng thể tròn luân phiên buộc phải tính là:$V = pi intlimits_1^e (xln x)^2 dx$ $ = pi intlimits_1^e x^2ln ^2x dx.$Để tính tích phân trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:$left{ eginarraylu = ln ^2x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac2xln xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Khi đó: $V = pi left( frac13x^3ln ^2x ight)left| eginarrayle\1endarray ight.$ $ – frac2pi 3intlimits_1^e x^2ln x dx$ $ = fracpi e^33 – frac2pi 3underbrace intlimits_1^e x^2ln x dx_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac1xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Lúc đó: $I = frac13x^3lnxleft| _1^e ight. – frac13 intlimits_1^e x^2dx $ $ = frace^33 – frac19x^3left| _1^e ight.$ $ = frac2e^39 + frac19$ $(2).$Txuất xắc $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = fracpi (5e^3 – 2)27$ (đvtt).

Xem thêm: Đàn Ông Trung Niên Việt Nam, Đàn Ông Trung Niên: Chuyện Khó Nói

Dạng toán 3: Tính thể tích trang bị thể tròn luân chuyển dạng 2Pmùi hương pháp: Ta tất cả nhì dạng sau:+ Dạng 1: Công thức tính thể tích thứ thể tròn xoay sinch vày miền $left( D ight)$ số lượng giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$ quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b left .$+ Dạng 2: Công thức tính thể tích đồ thể tròn chuyển phiên sinh vì miền $left( D ight)$ giới hạn do $x = fleft( y ight)$, $x = gleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b f^2(y) – g^2(y) ight .$

ví dụ như 5: Tính thể tích khối tròn luân phiên tạo ra thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn do vật thị nhị hàm số $y = x^2$ và $y = 2 – x^2.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng số lượng giới hạn do đồ vật thị nhì hàm số $y = x$ và $y = 2 – x^2.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương thơm trình:$x^2 = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Thể tích đồ gia dụng tròn chuyển phiên cần tính là:$V = pi intlimits_ – 1^1 x^4 – (2 – x^2)^2 ight $ $ = pi intlimits_ – 1^1 4x^2 – 4 ight $ $ = 4pi intlimits_ – 1^1 (1 – x^2)dx $ $ = 4pi left( x – fracx^33 ight)left| _ – 1^1 ight.$ $ = frac16pi 3.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1 Rightarrow y = 1\x = -2 Rightarrow y = -2endarray ight.$Thể tích vật thể được mang đến bởi:$V = pi intlimits_ – 2^1 dy $ $ = frac92pi .$

lấy ví dụ như 6: Cho hình tròn $left( C ight)$ tâm $Ileft( 0;2 ight)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối hận tròn chuyển phiên chế tác thành khi:a. Quay $left( C ight)$ xung quanh trục $Ox$.b. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn $(C)$ bao gồm phương trình: $left( C ight):x^2 + (y – 2)^2 = 1.$

*

a. Ta có:Ta chia mặt đường tròn $(C)$ thành $2$ con đường cong nhỏng sau:+ Nửa $left( C ight)$ nghỉ ngơi bên trên ứng với $2 le y le 3$ bao gồm pmùi hương trình: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.+ Nửa $left( C ight)$ nghỉ ngơi bên dưới ứng với $1 le y le 2$ gồm pmùi hương trình: $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.Lúc kia, thể tích thiết bị thể tròn luân phiên buộc phải tính được sinc vày hình tròn trụ $(C)$ số lượng giới hạn bởi vì các đường: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $, $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được tính theo công thức: $V = pi intlimits_ – 1^1 dx$ $ = 8pi intlimits_ – 1^1 sqrt 1 – x^2 dx$ $ = 4pi ^2.$b. lúc quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$ ta nhận được khối tròn xoay đó là hình cầu phân phối kính $R = 1$, vày đó: $V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .$

ví dụ như 7: Tính thể tích đồ gia dụng thể tạo thành bởi hình elip $left( E ight):fracleft( x – 4 ight)^24 + fracy^216 le 1$ xoay quanh trục $Oy.$

Elip $left( E ight)$ gồm tâm $Ileft( 4,0 ight)$, trục Khủng tất cả độ dài $2a = 8$, trục nhỏ tuổi có độ dài $2b = 4.$

*

Ta phân chia đường biên của elip $(E)$ thành $2$ mặt đường cong như sau:+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $2 le x le 4$ tất cả phương thơm trình: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $4 le x le 6$ tất cả phương thơm trình: $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$Thể tích đồ thể tròn xoay yêu cầu tính được sinch vày miền $E$ số lượng giới hạn bởi những đường: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $, $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được xem theo công thức:$V = pi intlimits_ – 4^4 left( f_2^2(y) – f_1^2(y) ight) dy$ $ = 32pi intlimits_ – 4^4 sqrt 1 – fracy^216 dy$ $ = 64pi ^2.$